Весной 2010 года Клименко стал сотрудником Министерства внутренних дел. На протяжении шести лет Александр занимал должности следователя и старшего следователя в полиции. Расследовал дела о коррупции в государственных компаниях, в частности, хищение средств в “Укрзализныце”.

Затем Клименко перешел в Национальное антикоррупционное бюро. Следующие шесть лет он был детективом, старшим детективом, руководителем одного из отделов Бюро. Занимался “чувствительными” политическими делами. С января 2021 Александр проходил службу на должностях руководящего состава НАБУ. 

Клименко был следователем в ряде резонансных дел. Он занимался “Газовым делом” в отношении экс-парламентария Александра Онищенко. 

Также Клименко руководил группу прокуроров по делу экс-замсекретаря СНБО Олега Гладковского, которого подозревали в махинациях по оборонным заказам на 17,5 миллиона гривен. Самым громким его делом стало подозрение во взяточничестве заместителю руководителя Офиса Президента Украины Олегу Татарову.

Фактически в Бюро у Александра уже не было возможности какого-либо карьерного роста, потому что все руководящие должности были заняты. Поэтому в конце года он принял участие в конкурсе на замещение вакансии главы Специальной антикоррупционной прокуратуры.

По его итогам Клименко получил наибольшее количество баллов — 246. Но комиссия в течение почти семи месяцев не утверждала победителя.

По словам руководителя Центра противодействия коррупции Виталия Шабунина, это было связано с тем, что кандидатура Клименко не устаивала Офис Президента. Александр занимался расследованием дела в отношении Олега Татарова. Поэтому конкурс специально затягивался. 

Шабунин предупреждал, что Татаров может фальсифицировать результаты конкурса. Тем не менее неудобный Офису Президента Клименко все же победил. 

В июле 2022 года Александр был утвержден в должности заместителя Генерального прокурора — главы Специальной антикоррупционной прокуратуры.