Соловьев работал врачом по специальности «Хирургия» в Днепропетровской областной клинической больнице им. И. И. Мечникова .

С 2003 по 2007 год – директор Государственного предприятия «Украинский медицинский центр сертификации».

С 2007 по 2009 год – председатель Государственной службы лекарственных средств и изделий медицинского назначения.

С 2010 по 2011 год – председатель Государственной инспекции по контролю качества лекарственных средств Минздрава Украины , Главный государственный инспектор Украины по контролю качества лекарственных средств.

2011 — председатель Государственной службы Украины по лекарственным препаратам и контролю за наркотиками.

С 2011 по 2014 год – председатель Государственной службы Украины по лекарственным средствам .

С 2014 года – доцент кафедры организации и экономики фармации НМАПО им. Шупика.

Заведующий кафедрой общей и клинической фармации Межрегиональной академии управления персоналом .

25 февраля 2020 года президент Зеленский назначил Алексея Соловьева заместителем Секретаря Совета национальной безопасности и обороны Украины.

Президент Владимир Зеленский указом №228/2024 глава уволил с этой должности Алексея Соловьева.