В 1993 году начинает работать в Медицинском центре Атланты (США) в его административном и финансовом департаменте.

В том же 1993 году Александр Квиташвили возвращается в Грузию и работает специалистом в области финансов и администрирования в представительстве ПРООН (Программа развития ООН).

В период с 1995 по 1997 год работал в Комитете помощи объединенной методисткой церкви, сначала на должности заместителя, а потом и.о. руководителя грузинской миссии.

В 1997 году в неправительственной организации «Международный фонд «Курацио» (грузинская филия) занимает президентский пост. Данная организация специализировалась на работе в странах с переходной экономикой, где проводила реформы систем здравоохранения.

В 2002 году возвращается в Программу развития ООН, где занимает должность национального координатора сектора социальной защиты, здравоохранения, преодоления бедности и экономического роста в Грузии.
В период с 1995 по 2002 год Квиташвили работал в различных международных организациях консультантом, работая в Сербии, Армении, Украине, Литве, Азербайджане.

В 2003 году переезжает в Соединенные Штаты Америки, в Нью-Йорк, где начинает работать консультантом организации «Трансатлантические партнеры против СПИДа» в Институте Восток-Запад.

В 2004 году в Институте Восток-Запад занимает должность административного директора, а с 2005 года входит в состав совета правления института и занимает пост главного административного директора.

В 2008 году возвращается в Грузию, где занимает пост министра труда, здравоохранения и социальной защиты, на данной должности находился до 2010 года.

В 2010 году переходит в Тбилисский государственный университет им.Джавахишвили, где занимает должность исполняющего обязанности ректора, спустя несколько месяца становится ректором ВУЗа.

С поста ректора университета ушел в 2013 году и занял должность и.о. ректора.

Является автором нескольких аналитических работ, которые касаются анализа системы соцзащиты, а также реформ в здравоохранении.
Владеет грузинским, русским и английскими языками.

В 2014 году принимает украинское гражданство и становится главой Министерства здравоохранения Украины